ریسمان دیراک (Dirac’s String):

یک خم تک بعدی در فضا است که از تک قطبی مغناطیسی (Magnetic Monopole) به سمت بی نهایت کشیده می شود.

پتانسیل شاخص (Gauge Potential) برای این ریسمان به هیچ وجه تعریف نمی شود و به همین دلیل این ریسمان مانند سیم پیچ (Solenoid) در پدیده ی بوم – آهانوروف (Bohm – Ahanorov Effect) می باشد.

نسبت تولید بارهای مغناطیسی و الکتریکی به یکدیگر طبق این رابطه باید همواره مضرب صحیحی از π2 باشد.

کوانتیده شدن (Quantization) اجباری در ریسمان دیراک به آسانی توسط کوهومولوژی (Cohomology) گره ی تارها (Fiber Bundle) که نماینده ی میادین شاخص (Gauge Fields) است توجیه می شود. (میادین شاخص منیفولد (Manifold) ابعاد بر پایه ی فضازمان هستند).

منیفولد (Manifold):

به هر فضای مجرد منیفولد می گویند اگر به طور موضعی دارای همسایگی شبیه به فضا باشد اما از نظر ساختار کلی بتواند از آن پیچیده تر باشد.

پدیده ی بوم – آهانوروف و اثر سیم پیچ در آن:

هنگامیکه یک ذره ی باردار از کنار یک سیم پیچ طولانی عبور می کند امواج متناوب این ذره باعث ضعیف شدن میدان مغناطیسی سیم پیچ می شود. در این هنگام ذره ی باردار دچار انتقال فازی (Phase Shift) می شود و بنابر همین دلیل میدان سیم پیچ ضعیف تر نمی شود (به صفر میل نمی کند).

پدیده ی بوم – آهانوروف به بررسی اثرات میدان الکترومغناطیسی بر ذرات باردار می پردازد.

شرایط کوانتیدگی دیراک (Dirac’s quantization conditions):

دیراک فرض کرد اگر در یک فضا یک تک قطبی الکتریکی و یک تک قطبی مغناطیسی داشته باشیم میدانی که این دو را احاطه می کند دارای نیروی جنبشی برابر با بردار پوینتینگ (Poynting’s vector) خواهد بود.

بردار پوینتینگ برداری است که شار انرژی (Energy Flux) یک میدان الکترومغناطیسی را نشان می دهد و برابر با مقدار زیر است:

که در آن E بزرگی میدان الکتریکی، B بزرگی میادین مغناطیسی، H چگالی شار مغناطیسی و µ ضریب نفوذ پذیری مغناطیسی می باشد.

همچنین نیروی حول محور (angular momentum) آن متناسب با بار آن دو ذره و مستقل از فاصله ی آنها خواهد بود.

طبق مکانیک کوانتومی هنگامیکه نیروی حول محور بنابر ثابت پلانک (Planck’s Constant) کوانتیده می شود، آنگاه بار تک قطبی ها نیز باید کوانتیده باشد.

این بدان معناست که اگر حتی یک تک قطبی مغناطیسی منفرد در دنیا وجود داشته باشد، تمام تک قطبی های الکتریکی نیز باید کوانتیده باشند. (تک قطبی های الکتریکی از قبیل الکترون، پروتون و غیره).

آنگاه طبق چه واحدی بار تک قطبی های مغناطیسی کوانتیده می شود؟ (بارهای الکتریکی تحت معادله ی پلانک کوانتیده می شوند).

دیراک فرض کرد که تنها یک تک قطبی مغناطیسی نقطه ای داریم که میدان مغناطیسی آن تحت رابطه ی q/r² رفتار می کند.

به دلیل دیورژانس (Divergence) یکی از ذرات تک قطبی (برای مثال ذره ی B) که تقریبا در همه جا برابر با صفر است، به جز مکان هندسی (Locus) تک قطبی مغناطیسی در r = 0، می توانیم به صورت پتانسیل بردار (Vector Potential) ثابت کنیم که حلقه ی (Curl) بردار پتانسیل ذره ی دیگر (A)، با میدان مغناطیسی برابر می باشد. البته پتانسیل بردار را نمی توان به صورت دقیق تعیین کرد زیرا واگرایی میدان مغناطیسی متناسب با تابع دلتا (Delta Function) مبدا است.

پتانسیل بردار  میدان برداری (Field Vector) است که حلقه ی آن میدان بردار خودش باشد:

حلقه (Curl) برداری است که مقدار چرخش میدان بردار را نشان می دهد و مقدار میدان بردار F برابر است با اندازه ی سطح نرمال در حد آهنگ انتگرال سطح S وقتی که حجم مایل به صفر است (V —› 0).

سطح نرمال (Normal Surface) سطحی است که یک بردار سه بعدی  در آن بر یک صفحه ی تخت عمود می شود.

تابع دلتا تابعی است که به ازای X = 0 مقدار بی نهایت دارد را برای عرض دارد و در بقیه ی نقاط صفر است. انتگرال این تابع به ازای هر حد مثبت و منفی برابر با 1 است.

نوعی که در آن زمان به سمت بی نهایت مثل می کند تابع دلتای دیراک و نوعی که در آن زمان محدود است تابع دلتای کرونیکر (Kronecker Delta Function) نامیده می شود. نوع دوم همواره دارای دو ضابطه ی صحیح است.

به این نوع از توابع، توابع برانگیخته (Impulse) می گویند.